Halaman
33Program LinearSumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999Program LinearBab IITujuan PembelajaranSetiap pedagang, pengusaha, atau orang yang berkecimpung dibidang usaha pasti menginginkan keuntungan sebanyak-banyaknyaterhadap apa yang diupayakannya. Salah satu cara yang dapatditempuh adalah menekan biaya produksi hingga sekecil-kecilnya.Dengan menyederhanakan beberapa faktor yang berpengaruh padaproses tersebut, pedagang atau pengusaha dapat membentuk suatumodel matematika. Program linear merupakan salah satu metode yangdapat digunakan untuk menyelesaikan model matematika sederhana.MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel;2. menentukan fungsi tujuan (fungsi objektif) beserta kendala yang harus dipenuhidalam masalah program linear;3. menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang yang memenuhi sistempertidaksamaan linear;4. menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian dari programlinear;5. menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian program linear.
34Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• fungsi objektif• fungsi kendala• model matematika• program linear• pertidaksamaanPeta KonsepProgram LinearSistem PertidaksamaanLinearmempelajari• sistem pertidaksamaan linear• nilai maksimum• nilai minimum• nilai optimal• optimasiMenentukan NilaiOptimum SuatuFungsi ObjektifUji TitikSudutGaris Selidikdengan metodemembahasProgram Lineardan ModelMatematikaHimpunanPenyelesaian SistemPertidaksamaanLinear Dua Variabeldengan Grafik
35Program LinearProgram linear sebagai bagian dari matematika banyakdigunakan dalam berbagai bidang, antara lain dalam bidang ekonomi,pertanian, dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear,seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya mini-mum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas atau kendala, yaitusumber daya yang tersedia.Dalam mempelajari program linear, kita perlu mengingat kembalicara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear duavariabel dengan menggunakan grafik. Oleh karena itu, kita awalipembahasan ini dengan mengulang kembali cara menentukanhimpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.Setelah hal ini kita pahami dengan baik, kita lanjutkan pembicaraanini dengan membahas pengertian program linear dan modelmatematika, menentukan nilai optimum bentuk objektif, serta menye-lesaikan soal-soal program linear.Sebelum mempelajari bab ini, ada baiknya kalian jawab soal-soal berikut.1.Gambarlah grafik yang menyatakan himpunan penyelesaiandari:a.6x + 5y < 11b. x – 6y = –5 5x + y = 62.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear5x – y = 46x + y = 7dengan metode substitusi dan metode eliminasi.3.Ade membeli buku dan sebuah bolpoin di Toko PermataIbu. Ade harus membayar Rp7.000,00. Di toko yang samaRia membeli sebuah buku dan dua bolpoin. Ria harusmembayar Rp4.000,00. Berapa harga buku di toko PermataIbu? Berapa pula harga bolpoin?{{Uji PrasyaratKerjakan di buku tugasSetelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kitalanjutkan ke materi berikut.A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem(gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat duavariabel. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan lineardua variabel merupakan irisan atau interseksi dari himpunanpenyelesaian pertidaksamaan linear yang terdapat pada sistem
36Mmt Aplikasi SMA 3 IPSpertidaksamaan itu. Dalam bentuk grafik pada bidang koordinat,himpunan penyelesaian itu berupa daerah yang dibatasi oleh garis-garis dari sistem persamaan linearnya. Perhatikan contoh-contohberikut.Contoh:1.Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidangCartesius. (R adalah himpunan bilangan real)a.2x + 3y* 6, dengan x, yDRb.x + 2y < 4, dengan x, yDRPenyelesaian:Sebelum menentukan daerah penyelesaiannya, kita perlu melukis batas-batasdaerahnya, yakni grafik 2x + y = 6 dan grafik x + 2y = 4.Karena batas yang dimaksud berbentuk linear, dapat dipastikan bahwa batas-batas daerahnya berupa garis-garis lurus. Jadi, untuk melukisnya cukup ditentukan2 titik anggotanya, kemudian menghubungkannya menjadi sebuah garis lurus. Duatitik anggotanya yang mudah dihitung adalah titik potong garis itu dengan sumbuX dan sumbu Y. Skema perhitungannya dapat dilihat pada tabel berikut.a.2x + y* 6, dengan x, yDRBatas daerah penyelesaiannya adalah grafik 2x + y = 6.•Titik potong grafik dengan sumbu X, syaratnya y = 0. Berarti, 2x + 3(0) = 6 2x = 6 x = 3. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu Xadalah (3, 0).•Titik potong grafik dengan sumbu Y, syaratnya x = 0. Berarti, 2(0) + 3y = 6 3y = 6 y = 2. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu Yadalah (0, 2).Jadi, isian tabel selengkapnya adalah sebagai berikut.Grafik 2x + 3y = 6 dapat diperoleh dengan membuat garis yangmenghubungkan titik (3, 0) dan (0, 2) seperti pada gambar berikut.Tabel 2.2x03y20(x, y)(0, 2)(3, 0)Tabel 2.1x0....y....0(x, y)(0, ...)(..., 0)
37Program LinearYX(0, 2)(3, 0)O2x + 3y = 6YX(0, 2)(3, 0)O2x + 3y* 6Gambar 2.1Gambar 2.2itu terlihat bahwa pertidaksamaan 0 * 6bernilai salah. Berarti, titik (0, 0) tidakberada pada daerah penyelesaian 2x +3y* 6. Karena daerah yang dimintaadalah 2x + 3y > 6, titik-titik yangberada pada garis 2x + 3y = 6 termasukdaerah penyelesaian. Jadi, daerahpenyelesaiannya adalah daerah yangtidak diarsir, seperti pada Gambar 2.2.Pada Gambar 2.1, tampak bahwa garis 2x + y = 6 membagi bidangCartesius menjadi dua daerah, yaitu daerah di sebelah kanan (atas) garis dandaerah di sebelah kiri (bawah) garis itu. Untuk menentukan daerah yangmemenuhi pertidaksamaan 2x + 3y* 6, kita ambil sembarang titik untukdiselidiki, misalnya titik (0, 0). Kita substitusikan (0, 0) pada pertidaksamaan2x + 3y* 6 2(0) + 3(0) * 6 sehingga diperoleh 0 * 6. Berdasarkan substitusib.x + 2y < 4, dengan x, yDRTitik potong grafik x + 2y = 4 dengan sumbu koordinatJadi, titik potongnya adalah (0, 2) dan (4, 0). Grafiknya adalah sebagai berikut.Tabel 2.3x04y20(x, y)(0, 2)(4, 0)KetahuilahPada buku ini, kita tetapkan bahwadaerah himpunan penyelesaianpertidaksamaan adalah daerah yangbersih (yang tidak diarsir), sedang-kan daerah yang diberi arsir bukanmerupakan daerah himpunan pe-nyelesaian.YX(0, 2)(4, 0)Ox + 2y = 4YX(0, 2)(4, 0)Ox + 2y < 4 Gambar 2.3 Gambar 2.4
38Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKita selidiki titik (0, 0) dengan menyubstitusikannya pada pertidaksamaanx + 2y < 4 sehingga diperoleh 0 + 2(0) < 4 0 < 4. Terlihat bahwa pertidaksa-maan 0 < 4 benar. Berarti, titik (0, 0) berada pada daerah penyelesaian x + 2y < 4,sedangkan garis x + 2y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehingga digambarputus-putus. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir,seperti terlihat pada Gambar 2.4.2. Gambarlah pada bidang Cartesius, himpunan penyelesaian dari sistempertidaksamaan berikut, untuk x, yDR.a.2x + y) 4x + y) 3b.x, y* 0x + y) 74x + 3y) 24Penyelesaian:a.Sistem pertidaksamaan 2x + y) 4 dan x + y) 3, dengan x, yDRTitik-titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 3 dengan sumbu koordinat•Untuk 2x + y = 4 • Untuk x + y = 3Tabel 2.4x 0 2y 4 0(x, y)(0, 4)(2, 0)Tabel 2.5x 0 3y 3 0(x, y)(0, 3)(3, 0){{Gambar 2.5YX(0, 4)(2, 0)O2x + y = 4(0, 3)(3, 0)x + y = 3Keterangan:•Penyelesaian pertidaksamaan 2x + y) 4adalah daerah di sebelah kiri garis 2x + y = 4(yang diarsir di sebelah kanan).•Penyelesaian pertidaksamaan x + y) 3adalah daerah di sebelah kiri garis x + y = 3(yang diarsir di sebelah kanan).•Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 32x + y = 4x + y = 3 x = 1Berarti, x + y = 3 1 + y = 3 y = 2.Jadi, titik potongnya adalah (1, 2).Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y) 4,x + y) 3, untuk x, yDR adalah daerah yang tidak diarsir (bersih), sepertiterlihat pada Gambar 2.5.b.Sistem pertidaksamaan: x, y* 0, x + y) 7, 4x + 3y) 24Titik-titik potong garis x + y = 7 dan 4x + 3y = 24 dengan sumbu koordinat(1, 2)–
39Program Linear• Untuk x + y = 7• Untuk 4x + 3y = 24Tabel 2.6x 0 7y 7 0(x, y)(0, 7)(7, 0)Tabel 2.7x 0 6y 8 0(x, y)(0, 8)(6, 0)YX(0, 8)A(6, 0)O4x + 3y = 24B(3, 4)(7, 0)x + y = 7C(0, 7)Gambar 2.6Keterangan:•Penyelesaian x* 0 adalah daerahdi sebelah kanan sumbu Y.•Penyelesaian y* 0 adalah daerahdi sebelah atas sumbu X.•Penyelesaian pertidaksamaanx + y) 7 adalah daerah di sebelahkiri garis x + y = 7.•Penyelesaian pertidaksamaan4x + 3y) 24 adalah daerah disebelah kiri garis 4x + 2y = 24.•Titik potong antara garis x + y = 7 dan 4x + 3y = 24x + y = 7 × 3 A 3x + 3y = 214x + 3y = 24 × 1 A 4x + 3y = 24 –x = –3 x = 3Berarti, x + y = 7 3 + y = 7 y = 4.Jadi, koordinat titik potongnya adalah (3, 4).Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: x* 0,y* 0, x + y) 7, 4x + 3y) 24, dengan x, yDR adalah daerah segi empatOABC yang tidak diarsir, seperti terlihat pada Gambar 2.6.–Dengan cara-cara yang telah kalian pelajari, coba gambarlahdaerah penyelesaianx + y< 0x – y> 0y = 1Ada berapa titik yang termasuk dalam himpunan penyelesaian?Titik manakah itu?{KreativitasTugasKerjakan di buku tugas
40Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidangCartesius.a. 3x + 5y < 15d. 5x – 4y > 20g. 6x + 5y ) 30b. 4x – 6y > 24e. 2x + 5y > 20h. 8x – 6y) 48c.x + 4y < 12f.x – 3y > 182.Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut padabidang Cartesius.a.x – y) –2d.2x + 4y* 8f.4 )x + y) 108x + 10 y) 552x – 5y* 0–6 )x – y) 0b.2x + 8y) 60–x + 5y) 5x* 0, y* 04x + 4y) 60x* 0, y* 0x* 0,y* 0e.x + 2y) 10c.x + y* 22x + y) 10x – y* –1y) 45x + 3y) 15x, y* 0x* 0, y) 0{{{{{{Uji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugasB. Merancang Model Matematika yang Berkaitandengan Program LinearMatematika mempunyai kaitan yang erat dengan persoalan-persoalan real yang terjadi di tengah kehidupan kita. Persoalan-persoalan seperti ini di antaranya dapat diselesaikan melalui programlinear. Program linear adalah suatu metode atau program untukmemecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala-kendalaatau batasan-batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistempertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan li-near ini dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Diantara beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyele-saian, terdapat satu penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaianoptimum. Jadi, tujuan program linear adalah mencari penyelesaianoptimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimumdari suatu fungsi. Fungsi tersebut dinamakan fungsi sasaran. Fungsisasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif.Untuk dapat menyelesaikan program linear, terlebih dahulu kitaharus menerjemahkan persoalan (kendala-kendala atau batasan-batasan yang terdapat dalam masalah program linear) ke dalam bahasamatematika yang disebut model matematika. Jadi, model matematikaadalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksa-maan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atauterjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasamatematika. Model matematika yang baik memuat bagian-bagianyang diperlukan. Untuk lebih jelasnya, lakukan kegiatan berikut.Tes MandiriKerjakan di buku tugasSebuah kapal pesiardapat menampung 150orang penumpang.setiap penumpangkelas utama bolehmembawa 60 kg ba-gasi dan penumpangkelas ekonomi 40 kg.Kapal itu hanya dapatmembawa 8.000 kgbagasi. Jika banyakpenumpang kelas uta-ma adalah x dan ba-nyak penumpang kelasekonomi adalah y ma-ka sistem pertidak-samaan yang harusdipenuhi adalah ....a.x + y) 150, 3x + 2y) 800, x* 0, y* 0b.x + y) 150, 3x + 2y) 400, x* 0, y* 0c.x + y* 150, 3x + 2y) 400, x* 0, y* 0d.x + y) 150, 3x + 3y) 400, x* 0, y* 0e.x + y) 150, 3x + 3y) 800, x* 0, y* 0Soal Ebtanas SMA,1996
41Program LinearDisajikan permasalahan berikut.Seorang tukang mebel membuat kursi dan meja. Setidak-tidaknya harus diproduksi 500 mebel, yang terdiri atas kursi danmeja. Pengerjaan kursi memerlukan waktu 2 jam, sedangkanpengerjaan meja memerlukan waktu 5 jam. Waktu yang tersedia1.500 jam. Harga jual eceran kursi Rp75.000,00 dan mejaRp125.000,00. Bagaimana model matematikanya?Tujuan:Membentuk model matematika dari permasalahan tersebut.Permasalahan:Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?Langkah-Langkah:1.Misalkan x = banyak kursi dan y = banyak meja.2.Tulislah pertidaksamaan linear dua variabel untuk jumlahmebel yang diproduksi. Perhatikan kendala bahwa palingsedikit harus diproduksi mebel sebanyak 500 buah.... x + ...y* 5003.Tulislah pertidaksamaan linear untuk waktu total produksi.Perhatikan kendala bahwa waktu total produksi adalah 1.500jam.... x + ...y) 1.5004.Tulis juga dua kendala lainnya, yaitu tiap jenis mebel tidakmungkin negatif.... * 0 dan ...* 05.Tulislah pernyataan untuk fungsi tujuan jika pabrikmenginginkan memperoleh pendapatan kotor paling besar.Fungsi tujuan z = ...x + ...y6.Simpulkan model matematika yang kalian peroleh.Kendala:... x + ... y* 500... x + ... y) 1.500... * 0 dan ... * 0Fungsi objektif: memaksimumkan z = ...x + ...yKesimpulan:Dari langkah-langkah di atas akan diperoleh model matematika:Fungsi objektif: memaksimumkan z = 75.000x + 125.000yKendala:x + y* 5002x + 5y) 1.500x* 0; y* 0KegiatanKerjakan di buku tugas{{Setelah melakukan kegiatan di atas, tentu kalian mampu memahamicontoh-contoh berikut dengan mudah.
42Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Luas suatu lahan parkir adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu busmasing-masing adalah 8 m2 dan 24 m2. Lahan parkir tersebut hanya memuat palingbanyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut denganmemisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y.Penyelesaian:Dari keterangan tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut..8x + 24 y) 400x + y) 20Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyaknya mobil dan bus, x dan yberupa bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah8x + 24y) 400x + y) 20x* 0, y* 0x, yDC2.Suatu industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan rotijenis B. Roti jenis A memerlukan 150 g tepung dan 50 g mentega. Roti jenis Bmemerlukan 75 g tepung dan 75 g mentega. Banyaknya tepung yang tersedia adalah2,25 kg, sedangkan banyaknya mentega yang tersedia adalah 1,25 kg. Pemilikindustri rumah tangga itu ingin membuat kedua jenis roti tersebut sebanyak-banyaknya. Buatlah model matematika dari masalah tersebut.Penyelesaian:Misalkan banyaknya roti jenis A adalah x dan roti jenis B adalah y. Keteranganpada soal di atas dapat dirangkum dalam tabel berikut.Banyaknya tepung yang digunakan untuk membuat kedua jenis roti tersebut adalah(150x + 75y) g, sedangkan banyaknya tepung yang tersedia adalah 2.250 g sehinggadiperoleh hubungan 150x + 75y) 2.250 atau 2x + y) 30 ................................. (1)Banyaknya mentega yang digunakan untuk membuat kedua jenis roti tersebut adalah(50x + 75y) g, sedangkan banyaknya mentega yang tersedia adalah 1.250 g sehinggadiperoleh hubungan 50x + 75y) 1.250 atau 2x + 3y) 50 ................................. (2)Karena x dan y masing-masing menyatakan banyaknya roti, x* 0 dan y* 0 .... (3)Nilai-nilai x dan y berupa bilangan cacah.Karena permasalahannya adalah bagaimana membuat kedua jenis roti sebanyak-banyaknya (memaksimumkan), fungsi objektif atau fungsi sasarannya adalahmenentukan x + y maksimum.Contoh:{ Tabel 2.8Roti Jenis ARoti Jenis BMaksimumTepung (gram)150x75y2.250Mentega (gram)50x75y1.250
43Program LinearMisalkan fungsi sasarannya z maka z = x + y.Pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) merupakan kendala (pembatas) sehinggamodel matematika tersebut dapat ditulis sebagai berikut.Fungsi objektif: menentukan nilai maksimum z = x + yKendala:2x + y) 302x + 3y) 50 x* 0, y* 0x, yDC{Problem SolvingSeorang pedagang es menjual dua jenis es krim, yaitu jenis I dan jenis II. Harga beli eskrim jenis I adalah Rp700,00 per bungkus dan es krim jenis II Rp600,00 per bungkus.Modal yang dimiliki pedagang tersebut Rp168.000,00, sedangkan termos es yangdigunakan untuk menjual es tidak dapat memuat lebih dari 300 bungkus es krim.Keuntungan es krim jenis I adalah Rp300,00 per bungkus dan jenis II adalah Rp200,00per bungkus. Penjual es itu ingin memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya. Buatlahmodel matematika dari persoalan tersebut.Penyelesaian:Misalkan banyaknya es krim jenis I adalah x dan jenis II adalah y sehingga dari persoalandi atas, dapat dibuat tabel persoalan berikut.Tabel 2.9Es Krim Jenis I Es Krim Jenis II MaksimumBanyaknya Es Krimxy300Harga Beli Per Bungkus700x600y168.000Karena termos es dapat memuat tidak lebih dari 300 bungkus, sedangkan banyaknya eskrim jenis I dan II adalah (x + y) bungkus, diperoleh hubunganx + y) 300 ................................................................................................................. (1)Modal yang dimiliki Rp168.000, sedangkan uang yang diperlukan untuk membeli keduajenis es krim adalah (700x + 600y), diperoleh hubungan700x + 600y) 168.000 atau 7x + 6y) 1.680..............................................................(2)Karena x dan y menyatakan banyaknya es krim maka x* 0 dan y* 0 .................... (3)Nilai-nilai x dan y adalah bilangan cacah. Karena permasalahannya adalah menentukankeuntungan maksimum yang diharapkan oleh pedagang es, fungsi objektifnya adalahmenentukan nilai maksimum z = 300x + 200y.Model matematikanya adalah sebagai berikut.Fungsi objektif: menentukan nilai maksimum z = 300x + 200yKendala:x + y) 3007x + 6y) 1.680 x* 0, y* 0x, yDC{
44Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Diketahui jumlah dua bilangan nonnegatif x dan y tidak lebih dari 25, sedangkan 4kali bilangan x ditambah 2 kali bilangan y tidak lebih dari 75. Buatlah modelmatematika dari persoalan tersebut.2.Seorang pedagang buah menjual buah mangga dan buah jeruk yang ditempatkandalam satu keranjang. Daya tampung keranjang itu tidak lebih dari 1.000 buah.Harga satu buah mangga dan satu buah jeruk masing-masing Rp500,00 danRp1.000,00. Apabila seluruh buah terjual, uang yang ia peroleh tidak lebih dariRp750.000,00. Jika banyaknya buah mangga dan buah jeruk masing-masing adalahx dan y, buatlah model matematika dari persoalan tersebut.3.Harga karcis dalam suatu gedung pertunjukan dibedakan menjadi dua kelompokumur, yaitu anak-anak dan dewasa yang masing-masing seharga Rp2.500,00 danRp5.000,00. Jika karcis terjual habis, uang yang terkumpul seluruhnya tidak lebihdari Rp125.000,00, sedangkan daya tampung gedung tersebut paling banyak 1.000orang. Apabila x dan y masing-masing menyatakan banyaknya anak-anak danorang dewasa yang mengunjungi suatu pertunjukan di gedung tersebut, tentukanmodel matematika dari permasalahan tersebut.4.Seorang anak yang membeli 8 buku tulis dan 5 pensil harus membayar Rp18.500,00.Anak yang lain membeli 4 buku tulis dan 6 pensil harus membayar Rp11.000,00.Jika harga satu buku tulis dan satu pensil masing-masing x dan y, buatlah modelmatematika untuk persoalan tersebut.5.Suatu pabrik mainan memproduksi 2 jenis mainan, yaitu jenis I dan II. Keuntungansetiap mainan jenis I adalah Rp3.000,00, sedangkan jenis II Rp5.000,00. Mainanjenis I memerlukan waktu 6 jam untuk membuat bahan-bahannya, 4 jam untukmemasang, dan 5 jam untuk mengepak. Mainan jenis II memerlukan waktu 3 jamuntuk membuat bahannya, 6 jam untuk memasang, dan 5 jam untuk mengepak. Suatupesanan sedang dikerjakan pabrik itu dengan alokasi waktu 54 jam untuk membuatbahan-bahannya, 48 jam untuk memasang, dan 50 jam untuk mengepak. Pabriktersebut berharap untuk mendapatkan keuntungan maksimum dari pesanan tersebut.Buatlah model matematika dari persoalan tersebut.6.Seorang ahli pertanian ingin mencampur dua jenis pupuk dengan memberikan 15 gkalium karbonat, 20 g nitrat, dan 24 g fosfat seminimal mungkin pada suatu takaran.Satu takaran pupuk merek I yang harganya Rp75.000,00 per bungkus memerlukan3 g kalium karbonat, 1 g nitrat, dan 1 g fosfat. Pupuk merek II harganya Rp60.000,00per bungkus memerlukan 1 g kalium karbonat, 5 g nitrat, dan 2 g fosfat. Buatlahmodel matematika dari persoalan tersebut agar pengeluarannya sekecil mungkin.Uji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugas
45Program LinearC. Menyelesaikan Model Matematika danMenafsirkannyaKalian telah mampu merancang model matematika yangberkaitan dengan masalah program linear. Model itu tidak akanbanyak berarti jika kalian tidak menyelesaikan permasalahan yangtimbul dari model itu. Menyelesaikan model itu sama halnyamenentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsiobjektifnya, kemudian menafsirkannya pada persoalan semula.1. Fungsi Objektif ax + byUntuk memahami pengertian bentuk objektif ax + by,perhatikan kembali model matematika pada contoh-contoh yangtelah kita pelajari di atas.a.Sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2x + y) 30 2x + 3y) 50x * 0, y* 0, dengan x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = x + y1.Suatu perusahaan mebel mengerjakan proses finishing 2 modelmeja, yaitu model klasik dan modern. Meja model klasikmemerlukan waktu 2 jam untuk mengampelas dan 3 jamuntuk mewarnai. Meja model modern memerlukan waktu 4jam untuk mengampelas dan 1 jam untuk mewarnai. Perusahaantersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama60 jam untuk mengampelas dan 80 jam untuk mewarna.Perusahaan tersebut berharap untuk mendapatkan keuntungansebesar-besarnya dari penjualan meja tersebut. Jika keuntunganpenjualan masing-masing meja model klasik dan modern adalahRp150.000,00 dan Rp180.000,00 per meja, buatlah modelmatematika dari persoalan tersebut.2.Seorang peternak menginginkan ternaknya mendapatkanpaling sedikit 24 g zat besi dan 8 g vitamin setiap hari. Satutakaran jagung memberikan 2 g zat besi dan 5 g vitamin,sedangkan satu takaran padi-padian memberikan 2 g zat besidan 1 g vitamin. Peternak itu ingin mencampur bahanmakanan tersebut untuk mendapatkan biaya yang semurah-murahnya. Jika harga jagung Rp1.500,00 per bungkus danharga padi-padian Rp2.500,00 per bungkus, buatlah modelmatematika dari persoalan tersebut.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas{Tes MandiriKerjakan di buku tugasHimpunan penyelesai-an dari sistem pertidak-samaan2x + y) 40x + 2y) 40x* 0; y* 0terletak pada daerahberbentuk ....a. trapesiumb. persegi panjangc. segitigad. segi empate. segi limaSoal PPI, 1982{
46Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb.Sistem pertidaksamaan linear dua variabelx + y) 300 4x + 3y) 1.120x* 0, y* 0, dengan x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = 25x + 10yDengan memerhatikan kedua model matematika padacontoh di atas, kita ketahui bahwa tujuan yang hendak dicapaidalam suatu model matematika dinyatakan dalam bentukpersamaan z = ax + by. Bentuk ax + by yang hendakdioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebutdinamakan fungsi objektif. Dengan kata lain, fungsi objektifdalam program linear adalah fungsi z = ax + by yang hendakditentukan nilai optimumnya.2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifSetelah kita memahami pengertian model matematika danfungsi objektif, kita dapat mengetahui tujuan yang hendak dicapaidari persoalan program linear, yaitu menentukan nilai optimumsuatu fungsi objektif. Langkah-langkah untuk menyelesaikanpersoalan program linear secara umum adalah1.menerjemahkan atau merumuskan permasalahan ke dalammodel matematika;2.menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakankendala atau pembatas;3.mencari penyelesaian optimum (maksimum atau minimum);4.menjawab permasalahan.Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakanmetode grafik yang terdiri atas dua macam cara, yaitu metodeuji titik sudut dan metode garis selidik.a.Metode Uji Titik SudutDengan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektifz = ax + by ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax+ by pada setiap titik sudut (titik verteks) yang terdapat padadaerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear duavariabel. Beberapa nilai yang diperoleh itu, kemudiandibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilaimaksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang palingkecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.Untuk lebih memahami cara menentukan nilai optimumfungsi objektif dengan uji titik sudut, perhatikan contoh-contoh berikut.{Tes MandiriKerjakan di buku tugasNilai minimum dariz = 3x + 6y yangmemenuhi syarat 4x + y* 20 x + y) 20 x + y* 10 x* 0 y* 0adalah ....a. 50d. 20b. 40e. 10c. 30Soal UMPTN, 2001{
47Program LinearContoh:1.Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut.Sistem pertidaksamaan linear dua variabel.2x + y) 302x + 3y) 50x* 0, y* 0, dengan x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = x + yPenyelesaian:Titik potong garis dengan persamaan 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 dengan sumbukoordinat dapat ditentukan dengan membuat tabel, seperti pada Tabel 2.10 danTabel 2.11.• Untuk 2x + y = 30• Untuk 2x + 3y = 50Tabel 2.10 Tabel 2.11x 015y 300 (x, y)(0, 30) (15, 0)x025y16230 (x, y)(0, 1623)(25, 0)Gambar 2.7OYXC (0, 16 )32B (10, 10)(0, 30)(25, 0)A(15, 0)2x + y = 302x + 3y = 50Daerah himpunan penyelesaiannya diperlihatkan sebagai bagian yang bersih (tidakdiarsir). Titik potong kedua garis tersebut adalah2x + y = 302x + 3y = 50 –––––––––– – –2y = –20 atau y = 10{Pasangan koordinat tersebut kita lukis pada bidang koordinat dan dihubungkan dengansebuah garis lurus. Setelah garis 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 terlukis, tentukan daerahpenyelesaian pertidaksamaan 2x + y) 30 dan 2x + 3y) 50, seperti pada gambar dibawah.
48Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKarena nilai y = 10 maka 2x + y = 30 2x + 10 = 30 2x = 20 x = 10.Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (10, 10).Dari Gambar 2.7, tampak bahwa titik-titik sudut yang terdapat pada daerahhimpunan penyelesaian adalah titik O(0, 0), A(15, 0), B(10, 10), dan C(0, 1623).Selanjutnya, selidiki nilai fungsi objektif z = x + y untuk masing-masing titik suduttersebut. z maksimumTabel 2.12TitikO(0, 0)A(15, 0)B(10, 10)C(0, 1623)x015 100y00 101623z = x + y015 201623Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi objektif z = x + y adalah 20, yaituuntuk x = 10 dan y = 10.2.Seorang pedagang beras hendak mengangkut 60 ton beras dari gudang ke tokonya.Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis kendaraan, yaitu truk dan pikap.Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton beras, sedangkan pikap dapatmengangkut 2 ton beras. Untuk sekali jalan, biaya sewa truk adalah Rp50.000,00,sedangkan pikap Rp40.000,00. Dengan cara sewa seperti ini, pedagang berastersebut diharuskan menyewa kedua kendaraan itu sekurang-kurangnya 24kendaraan. Berapa banyak truk dan pikap yang harus disewa agar biaya yangdikeluarkan minimum dan berapa biaya minimum tersebut?Penyelesaian:Misalkan banyaknya truk adalah x dan banyaknya pikap adalah y. Berdasarkansoal di atas, dapat dibuat tabel sebagai berikut.Tabel 2.13Jenis IJenis IIMaksimumBanyak Kendaraanxy24Banyak Muatan (ton)3x2y60Dari diagram tersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.x + y* 243x + 2y* 60x* 0, y* 0, dengan x, yDC{
49Program LinearYXO(20, 0)A (24, 0)C (0, 30)B (12, 12)(0, 24)x + y = 243x + 2y = 60Gambar 2.8Fungsi objektif: meminimumkan z = 50.000x + 40.000yUntuk membuat garis x + y = 24 dan 3x + 2y = 60, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat dengan membuat tabel sepertiberikut.• Untuk x + y = 24• Untuk 3x + 2y = 60 Tabel 2.14 Tabel 2.15x024y240 (x, y)(0, 24)(24, 0)x020y300 (x, y)(0, 30)(20, 0)Daerah penyelesaiannya terlihat padaGambar 2.8.Menentukan titik potong kedua garisx + y = 24× 2 A 2x + 2y = 483x + 2y = 60× 1 A 3x + 2y = 60 –x = –12x= 12Karena x = 12 makax + y = 24 12 + y = 24 y = 12.Jadi, koordinat titik potong kedua garis ituadalah (12, 12).Dari gambar di samping, tampak bahwatitik-titik sudut yang terdapat pada daerahpenyelesaian adalah A(24, 0), B(12, 12),dan C(0, 30). Nilai bentuk objektif z =50.000x + 40.000y untuk masing-masingtitik tersebut, dapat diselidiki denganmembuat tabel sebagai berikut.Tabel 2.16TitikA(24, 0)B(12, 12)C(0, 30)x24120y0123050.000x + 40.000y1.200.0001.080.0001.200.000Dari tabel tersebut, nilai minimum bentuk objektif z = 50.000x + 40.000y adalah1.080.000, yaitu untuk x = 12 dan y = 12.Jadi, banyaknya kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan mini-mum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.–
50Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb.Metode Garis Selidik ax + by = kMenentukan nilai optimum suatu fungsi objektif denganmenggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan danwaktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metodeyang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yangberbentuk ax + by = k.Misalkan terdapat suatu fungsi objektif z = ax + by,dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapanilai ki untuk z, yaitu k1, k2, ..., kn, diperoleh n garis selidikyang memiliki persamaan sebagai berikut.k1 = ax + byk2 = ax + by...kn = ax + byGaris-garis tersebut mempunyai gradien yang sama, yaitum = –ab. Dengan demikian, garis-garis tersebut merupakangaris-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagian darigaris-garis tersebut terletak pada daerah penyelesaianpertidaksamaan linear (daerah feasibel) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titikoptimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagifungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada palingkanan atau paling atas pada daerah penyelesaianmenunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yangberada paling kiri atau paling bawah pada daerahpenyelesaian menunjukkan nilai minimum.Contoh:{Tes MandiriKerjakan di buku tugasPada gambar di atas,daerah yang diwarnaigelap memenuhi sis-tem pertidaksamaana.y* 0, x) 0,3y* 4x + 12,x – 2y) –4b.x) 0, 3y) 4x + 12,x – 2y* –4c.x) 0, 2y – x* 4,3y) 4x + 12d.x) 0, y* 9,3y) 4x + 12,2y – x) 4e.y* 0, x) 0,2y – x* 4,3y* 4x + 12Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2004-3-4O24XYEksplorasiTugasKerjakan di buku tugasBuktikan bahwa n garis selidik dengan persamaank1 = ax + byk2 = ax + by....kn = ax + by mempunyai gradien m = –ab.1.Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut.Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: 2x + y< 30 2x + 3y< 50 x, y> 0, dengan x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = x + y
51Program LinearGambar 2.10YXO(20, 0)A (24, 0)C (0, 30)B (12, 12)(0, 24)x + y = 243x + 2y = 60Penyelesaian:Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengank = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buatgaris-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0,yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda-beda, seperti pada gambar di samping.Dari Gambar 2.9, tampak bahwa apabilanilai k makin besar, letak garis-garis x + y =k makin jauh dari titik O(0, 0). Karena nilai kbersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan2.Seperti soal nomor 2 (halaman 48), tetapiselesaikan dengan menggunakan metode garisselidik.Penyelesaian:Dari soal yang dimaksud, diperoleh modelmatematikax + y> 24 3x + 2y> 60x> 0, y> 0Fungis objektif:meminimumkan z = 50.000x + 40.000yDari informasi soal tersebut, diperolehhimpunan penyelesaian yang dapat dilihat padagambar di samping.Terlebih dahulu dibuat garis 50.000x + 40.000y = k, dengan k berbeda-beda, sepertipada Gambar 2.10. Dari gambar itu, tampak bahwa makin kecil nilai k, makindekat ke titik O(0, 0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, maka nilai zterkecil (minimum) bersesuaian dengan garis terdekat dengan titik O(0, 0). Garisterdekat yang dimaksud melalui titik A(12, 12). Jadi, nilai z minimum adalah z =50.000(12) + 40.000(12) = 1.080.000.Jadi, banyak kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimumadalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.Tampak bahwa dengan kedua cara, akan memberikan hasil yang sama.Problem SolvingOYXC (0, 16 )32B (10, 10)(0, 30)(25, 0)A(15, 0)2x + y = 302x + 3y = 50Gambar 2.9nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O(0,0). Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik (10, 10),yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melaluititik O(0, 0), yaitu 0 + 0 = 0.Suatu pabrik farmasi memproduksi dua jenis kapsul, yaitu jenis I dan jenis II. Setiapkapsul jenis I mengandung 6 mg vitamin A, 8 mg vitamin C, dan 1 mg vitamin E.Setiap kapsul jenis II mengandung 8 mg vitamin A, 3 mg vitamin C, dan 4 mg vitaminE. Setiap hari, seorang pasien memerlukan tambahan vitamin selain berasal dari makanan{
52Mmt Aplikasi SMA 3 IPSYXOx + 4y = 126x + 8y = 40(0, 5)(12, 0)(0, 3)(3, 0)(0, 8)1.000x + 1.500y = 12.000DCBA8x + 3y =24dan minuman sebanyak 40 mg vitamin A, 24 mg vitamin C, dan 12 mg vitamin E.Harga satu kapsul jenis I adalah Rp1.000,00 dan kapsul jenis II adalah Rp1.500,00.Berapa banyak uang minimal yang harus disediakan pasien tersebut untuk memenuhikebutuhan vitaminnya setiap hari.Penyelesaian:Misalkan banyaknya kapsul jenis I adalah x dan kapsul jenis II adalah y. Berdasarkanbanyaknya kandungan vitamin yang diketahui, dapat dibuat tabel sebagai berikut.Tabel 2.17Kapsul Jenis I Kapsul Jenis IIKebutuhan Minimum(mg)(mg)(mg)Vitamin A6x8y40Vitamin C8x3y24Vitamin Ex4y12Model matematikanya adalah sebagai berikut.Sistem pertidaksamaan linear:6x + 8y* 408x + 3y* 24x + 4y* 12x* 0, y* 0 dengan x, yDCFungsi objektif: memi-nimumkanz = 1.000x + 1.500yDaerah penyelesaiansistem pertidaksamaanlinear di atas digam-barkan sebagai daerahyang tidak diarsir,seperti pada gambar disamping.Gambar 2.11Titik B adalah perpotongan garis 8x + 3y = 24 dan 6x + 8y = 40. Koordinat titik Bdapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut.8x + 3y = 24 × 8 A 64x + 24y= 1926x + 8y = 40 × 3 A 18x + 24y= 120 46x= 72 x = 113238x + 3y = 24 × 3 A 24x + 9y= 726x + 8y = 40 × 4 A 24x + 32y= 160 –23y = –88 y = 31923{Vitamin––(62, 0)3
53Program LinearBerarti, koordinat titik B adalah B1 313231923,().Titik C adalah perpotongan garis 6x + 8y = 40 dan x + 4y = 12. Koordinat titik Cdapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 6x + 8y = 40 × 1 A 6x + 8y = 40x + 4y = 12× 2 A 2x + 8y = 24 –––––––––– – 4x = 16 x = 46x + 8y = 40 × 1 A 6x + 8y = 40x + 4y = 12× 6 A 6x + 24y = 72 –––––––––––– – –16y = –32 y = 2Berarti, koordinat titik C adalah C(4, 2).Dari Gambar 2.11, nilai minimum dari fungsi objektif z = 1.000x + 1.500ydicapai pada titik C(4, 2) sehingga nilai minimum dari z = 1.000x + 1.500y =1.000(4) + 1.500(2) = 4.000 + 3.000 = 7.000.Jadi, banyaknya uang minimum yang harus disediakan oleh pasien tersebut adalahRp7.000,00 setiap hari dengan mengonsumsi 4 kapsul jenis I dan 2 kapsul jenis II.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1. Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 500x + 400yyang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut.2x + 3y) 2.500x + 7y) 4.000x* 0, y* 02. Sebuah pabrik roti ingin membuat dua jenis roti, yaitu rotiA dan B. Pada pembuatan 1 paket roti A diperlukan 50 kgmentega dan 60 kg tepung. Pembuatan 1 paket roti Bdiperlukan 1 kuintal mentega dan 20 kg tepung. Mentegadan tepung yang tersedia masing-masing adalah 3,5 ton dan2,2 ton. Jika harga roti A dan B per paketnya masing-masingadalah Rp2.750.000,00 dan Rp3.600.000,00, tentukanjumlah uang hasil penjualan kedua roti tersebut.Jika koordinat titik optimum tidak bulat, sedangkan titik optimumyang diminta berupa bilangan bulat, perlu diselidiki titik-titik bulatdi sekitar titik optimum yang termasuk dalam daerah penyelesaian.Dalam setiap pe-ngerjaan masalahoptimasi, mengapaselalu digunakantitik-titik sudut untukmenentukan nilaioptimasinya (mak-simum atau mini-mumnya)? Jelaskanmenurut pendapatkalian.DiskusiMengomunikasikanGagasan
54Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTentukan nilai maksimum dari fungsi objektif z = 15x + 10y yang memenuhi sistempertidaksamaan linear berikut.x + y) 5 3x + y) 8x* 0, y* 0x, yDCPenyelesaian:Gambar 2.121.Dengan metode uji titik sudut, tentukan titik optimum (x, y) dan nilai optimumfungsi objektif dari program linear berikut.a.Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 5y) 40 4x + y) 20 10 + 5y) 60x* 0, y* 0x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = 24x + 8yb.Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 3y* 40 2x + 2y* 28 8x + 2y* 32x* 0, y* 0 x, yDCFungsi objektif: meminimumkan z = 3x + 4yXYO{{(, )112 312223Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas{Contoh:Titik potong garis x + y = 5 dan 3x + y = 8 adalah1 31212,(). Jika x dan y bilangan real, nilai maksimumfungsi z = 15x + 10y dicapai pada titik 1 31212,(). Olehkarena itu, perlu diselidiki titik-titik bulat di sekitar1 31212,() dan termasuk dalam daerah penyelesaian,yaitu titik (1, 4), (1, 3), dan (2, 2).•Untuk titik (1, 4)z = 15x + 10y = 15(1) + 10(4) = 55•Untuk titik (1, 3)z = 15x + 10y = 15(1) + 10(3) = 45•Untuk titik (2, 2)z = 15x + 10y = 15(2) + 10(2) = 50Berarti, nilai maksimum fungsi z dicapai pada titik bulat (1, 4), yaitu z = 55.
55Program Linearc.Sistem pertidaksamaan linear: 4x + 2y* 20 2x + y* 14x + 6y* 18 x* 0, y* 0x, yDCFungsi objektif: meminimumkan z = 4x + 2y2.Dengan metode garis selidik, tentukan nilai optimum fungsi objektif dari programlinear berikut.a.Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 6y) 36 5x + 3y) 30 8x + 2y) 60x* 0, y*0x, yDCFungsi objektif: memaksimumkan z = 40x + 50yb.Sistem pertidaksamaan linear: 3x + y* 15x + 5y* 20 3x + 2y* 24x* 0, y* 0x, yDC3.Seekor hewan pemakan serangga setiap hari paling sedikit memerlukan 10 unitmakanan A, 12 unit makanan B, dan 12 unit makanan C. Untuk memenuhikebutuhannya, hewan tersebut memakan 2 jenis serangga. Serangga jenis Imemberikan masing-masing makanan A, B, dan C sebanyak 5, 2, dan 1 unit setiapekor. Serangga jenis II memberikan masing-masing makanan A, B, dan C sebanyak1, 2, dan 4 unit setiap ekor. Untuk menangkap serangga jenis I, hewan tersebutmengeluarkan 3 unit energi, sedangkan untuk menangkap serangga jenis IIdikeluarkan 2 unit energi. Berapa ekor jenis serangga masing-masing harusditangkap hewan tersebut untuk memenuhi kebutuhan makanan denganmengeluarkan energi minimum?4.Suatu pabrik baja memproduksi dua tipe baja yang diberi kode baja B1 dan B2. BajaB1 memerlukan 2 jam untuk melebur, 4 jam untuk menggiling, dan 10 jam untukmemotong. Baja B2 memerlukan 5 jam untuk melebur, 1 jam untuk menggiling,dan 5 jam untuk memotong. Waktu yang tersedia untuk melebur, menggiling, danmemotong masing-masing adalah 40 jam, 20 jam, dan 60 jam. Keuntungan setiappotong baja B1 dan baja B2 masing-masing adalah Rp240.000,00 dan Rp80.000,00.Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh.5.Suatu perusahaan batu kerikil untuk halaman rumah memproduksi dua macambatu kerikil, yaitu kasar dan halus. Batu kerikil kasar memerlukan waktu 2 jamuntuk menghancurkan, 5 jam untuk mengayak, dan 8 jam untuk mengeringkan.Batu kerikil yang halus memerlukan waktu 6 jam untuk menghancurkan, 3 jam{{{
56Mmt Aplikasi SMA 3 IPSuntuk mengayak, dan 2 jam untuk mengeringkan. Keuntungan dari masing-masingbatu kerikil itu adalah Rp40.000,00 untuk yang kasar dan Rp50.000,00 untuk yanghalus. Suatu pesanan dikerjakan perusahaan itu dengan alokasi waktu 36 jam untukmenghancurkan, 30 jam untuk mengayak, dan 40 jam untuk mengeringkan.Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh.6.Suatu pabrik menghasilkan dua macam barang, yaitu A dan B. Masing-masingbarang diproses melalui dua mesin. Setiap unit barang A diproses selama 4 menitdi mesin I dan II, sedangkan setiap unit barang B diproses selama 2 menit di mesinI dan 4 menit di mesin II. Kapasitas pengoperasian mesin I dan mesin II masing-masing 600 menit dan 480 menit. Dari setiap penjualan satu unit barang A diperolehlaba Rp8.000,00, sedangkan dari penjualan satu unit barang B diperoleh labaRp6.000,00. Nyatakan komposisi penjualan barang A dan B yang akanmemaksimumkan laba dan tentukan laba maksimumnya.7.Seorang peternak merasa perlu memberi makanan yang mengandung paling sedikit27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi A, B, dan C setiap hari kepada ternaknya. Untukitu, ada dua jenis makanan, yaitu M dan N yang dapat diberikan kepada ternaktersebut. Satu pon (500 g) jenis makanan M mengandung A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 2 satuan. Satu pon jenis makanan N mengandung nutrisiA, B, dan C masing-masing 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu pon makanan M dan Nmasing-masing sebesar Rp4.000,00 dan Rp2.000,00. Tentukan komposisi keduajenis makanan tersebut yang meminimumkan pengeluaran serta besarnyapengeluaran minimum peternak tersebut.8.Suatu pabrik alat-alat pertanian memproduksi dua jenis pompa air. Setiap jenispompa air harus melalui tiga tahap dalam perakitan. Waktu yang diperlukan danwaktu yang tersedia dalam setiap tahap diperlihatkan dalam tabel berikut.Tabel 2.18 PerakitanJenis Pompa AirTahap ITahap IITahap IIIJenis I40 jam24 jam20 jamJenis II30 jam32 jam24 jamWaktu yang Tersedia480 jam480 jam480 jamKeuntungan setiap unit pompa air jenis I dan II masing-masing adalah Rp30.000,00dan Rp50.000,00. Tentukan keuntungan maksimum dan jumlah produksi keduajenis pompa tersebut agar diperoleh keuntungan maksimum.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Seorang ahli elektronik merakit alat-alat stereo-set yangakan dijual di tokonya. Ia merangkai dua macam produk,yaitu piringan hitam dan pesawat kaset. Dari hasil penjualanpiringan hitam, ia memperoleh laba Rp3.000,00 setiap unit
57Program LinearRefleksiSetelah mempelajari materi programlinear, tentunya kalian memahamibagaimana cara menerjemahkan per-soalan (kasus) sehari-hari ke dalam mate-matika, untuk kemudian menyelesai-kannya. Coba cari contoh kasus yangsesuai dengan materi ini, kemudian ter-jemahkan dalam bahasa matematika danselesaikan. Keistimewaan apa yang kalianperoleh setelah mempelajari bab ini?Rangkuman1.Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem (gabungan dua ataulebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel.2.Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi.dan dari penjualan pesawat kaset Rp4.500,00 setiap unit.Kedua produk itu harus melalui dua tahap perakitan danruang uji. Satu piringan hitam memerlukan 12 jam untukmerakit dan 4 jam untuk menguji, sedangkan pesawat kasetmemerlukan 4 jam untuk merakit dan 8 jam untuk menguji.Berdasarkan jadwal setiap bulan, waktu yang tersedia adalah60 jam untuk merakit dan 40 jam untuk menguji. Tentukankombinasi terbaik untuk kedua macam produk tersebut agarmenghasilkan keuntungan maksimum (terbesar). Tentukanpula besar keuntungan maksimum.2.Suatu perusahaan alat rumah tangga memproduksi lemaribuku dan meja bagi keperluan pelajar. Penjualan setiaplemari buku memberikan laba Rp5.000,00 dan Rp7.500,00untuk meja. Setiap produk itu melalui dua tahap pengerjaan,yaitu memotong dan merakit. Satu lemari buku memerlukanwaktu 4 jam pemotongan dan 4 jam untuk merakit,sedangkan satu meja memerlukan waktu 3 jam pemotongandan 5 jam untuk merakit. Jika perusahaan menyediakanwaktu 40 jam untuk pemotongan dan 30 jam untuk merakit,berapakah laba maksimum dari kedua produk tersebut?Berapa banyak meja dan lemari buku yang harus diproduksiagar diperoleh laba maksimum?Informasi Lebih JauhTugasKerjakan di buku tugasAgar wawasan kalian bertambah, cobalah cari informasi-informasiyang berkaitan dengan software untuk menyelesaikan kasusprogram linear di media-media yang ada di sekitarmu(perpustakaan, buku-buku referensi, maupun internet).Pelajarilah cara menggunakannya.
58Mmt Aplikasi SMA 3 IPSI. Pilihlah jawaban yang tepat.Latihan Ulangan Harian II1.Daerah yang tidak diarsir pada gambarberikut memenuhi sistem pertidaksa-maan ....a. 2x + y) 8 3x + 2y ) 12x, y* 0b. x + 2 y* 8 3x + 2y) 12x* 0, y* 0c.x + 2y) 8 3x + 2y* 12x* 0, y* 0d.x + 2y* 6 3x + 2y* 8 x* 0, y* 0e. 2x + y) 6x + 2y) 8x* 0, y* 0{{{{{Kerjakan di buku tugas2.Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300yyang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y) 30 2x + 4y) 28y) 6x* 0, y* 0 adalah ....a.3.000d.3.300b.3.100e.3.400c.3.2003.Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilaimaksimum A dan B yang memenuhisistem pertidaksamaanx + 2y) 12 2x + y) 12x* 0, y* 0 berturut-turut adalah ....a.8 dan 30d.30 dan 6b.6 dan 6e.8 dan 24c.6 dan 244.Untuk memproduksi barang A, diper-lukan waktu 6 jam pada mesin I dan 4jam pada mesin II, sedangkan untukmemproduksi barang B, diperlukan waktu2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesinII. Kedua mesin tersebut setiap haribekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiaphari diproduksi x buah barang A dan ybuah barang B, model matematika yangsesuai untuk kasus di atas adalah ....{{O3846YX3.Model matematika berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperolehdari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasamatematika.4.Untuk memecahkan permasalahan model matematika, hal yang utama adalahmemisalkan variabel-variabel dari permasalahannya ke dalam simbol-simbolmatematika.5.Fungsi objektif adalah suatu fungsi yang hendak ditentukan nilai optimumnya padaprogram linear. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan, antara lain dengana.metode uji titik sudut;b.metode garis selidik.
59Program Lineara. 2x + 3y) 9 4x + y) 9x* 0, y* 0b. 3x + 2y) 9 2x + 4y) 9x* 0, y) 0c. 3x + y ) 9 2x + 4y )9x* 0, y * 0d. 3x + y ) 9 4x + 2y ) 9x* 0, y * 0e. 4x + 3y ) 9x + 2y ) 9x* 0, y * 05.Luas area parkir adalah 176 m2. Luasrata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m2 dan 20 m2. Area parkirtersebut hanya mampu menampung20 kendaraan, dengan biaya parkiruntuk mobil dan bus masing-masingRp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 perjam. Jika dalam waktu 1 jam tidak adakendaraan yang pergi atau datang, hasilmaksimum area parkir tersebut adalah ....a.Rp20.000,00d.Rp34.000,00b.Rp26.000,00e.Rp44.000,00c.Rp30.000,006. Diketahui sistem pertidaksamaanberikut.x + y) 6x + y* 3 2 )x) 4, y* 0Nilai maksimum fungsi sasaranz = 3x + 2y adalah ....a.10d.16b.12e.18c.147. Diketahui sistem pertidaksamaanberikut.x + 2y) 20x + y* 9x) 2y 2x*yNilai maksimum fungsi sasaran z = 3y – xterletak di titik ....a.Pd.Sb.Qe.Tc.R8.Perhatikan gambar berikut.Jika daerah segi lima tersebut merupa-kan himpunan penyelesaian dari suatuprogram linear, fungsi sasaran z = x + 3ymencapai maksimum di titik ....a.Pd.Sb.Qe.Oc.R9.Nilai minimum z = x + y yang memenuhisistem pertidaksamaan 4x + y* 4 2x + 3y* 6 4x + 3y) 12adalah ....a.145d.245b.215e.315c.235{{{{{{{YXO920910SRQPTYXOSRQP35256{
60Mmt Aplikasi SMA 3 IPS10. Seorang pemilik toko sepatu inginmengisi tokonya dengan sepatu jenis Asekurang-kurangnya 100 pasang dan jenissepatu B sekurang-kurangnya 150 pasang.Toko tersebut dapat memuat 400 pasangsepatu. Keuntungan yang diperoleh perpasang sepatu jenis A adalah Rp10.000,00dan Rp5.000,00 untuk jenis B. Jikabanyak sepatu jenis A tidak boleh melebihi150 pasang, keuntungan terbesar yangdapat diperoleh toko tersebut adalah ...a.Rp2.750.000,00b.Rp3.000.000,00c.Rp3.250.000,00d.Rp3.500.000,00e.Rp3.750.000,0011. Daerah yang memenuhi penyelesaiansistem pertidaksamaanx + y* 6 2x – y) 3x – 2y + 6 ) 0adalah ....a.Id.IVb.IIe.Vc.III12. Seorang pedagang arloji membeli arlojimerek A seharga Rp60.000,00 dan merekB seharga Rp240.000,00. Tas pedagangtersebut hanya mampu memuat tidaklebih dari 30 arloji. Modal pedagangtersebut sebesar Rp3.600.000,00. Jikakeuntungan arloji merek A adalahRp25.000,00 dan keuntungan arlojimerek B adalah Rp75.000,00, jumlahkeuntungan maksimum yang dapatdiperoleh pedagang itu adalah ....a.Rp750.000,00b.Rp1.125.000,00c.Rp1.250.000,00d.Rp2.250.000,00e.Rp2.275.000,0013. Nilai maksimum fungsi z = 4x + 5y,dengan syarat x, y* 0, x + 2y) 10, danx + y) 7 adalah ....a.34d.31b.33e.30c.3214. Nilai minimum z = x + y yang memenuhisistem pertidaksamaan 4x + y* 4 2x + 3y* 6 4x + 3y) 12adalah ....a.145d.245b.215e.315c.23515. Perhatikan gambar berikut.Jika daerah yang tidak diarsir adalahhimpunan penyelesaian dari suatu pro-gram linear, nilai maksimum fungsisasaran z = x – y terletak pada titik ....a.(3, 1)b.(4, 1)c.2 53,£¤¥¦d.(3, 2)e.4 52,£¤¥¦YXO–66–33632IVVIIIIIIYXO2–231{{
61Program Linear{16. Penyelesaian sistem pertidaksamaan li-neary – 3 < 0x – 2y < 0x + y > 0x* 0, y* 0pada gambar di bawah adalah ....a.Id.IVb.IIe.Vc.III17. Seorang anak diharuskan mengonsumsidua jenis tablet setiap hari. Tabletpertama mengandung 5 unit vitamin Adan 3 unit vitamin B, sedangkan tabletkedua mengandung 10 unit vitamin Adan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari,anak itu memerlukan 20 unit vitamin Adan 5 unit vitamin B. Jika harga tabletpertama Rp400,00 per biji dan tabletkedua Rp800,00 per biji, pengeluaranminimum untuk membeli tablet per hariadalah ....a.Rp1.200,00d.Rp1.800,00b.Rp1.400,00e.Rp2.000,00c.Rp1.600,0018. Jika z = x + 2y adalah fungsi sasaranuntuk sistem pertidaksamaan linear 2x + 3y* 6 5x + 2y* 10x* 0, y* 0,nilai maksimum z adalah ....a.3b.7c.11d.16e.tidak ada19. Dalam himpunan penyelesaian pertidak-samaan x* 1 y* 2 x + y) 6 2x + 3y ) 15,nilai minimum dari 3x + 4y adalah ....(UMPTN 1998)a.9b.10c.11d.12e.1320. Nilai maksimum dari x + y – 6 yangmemenuhi syarat x* 0, y* 0, 3x + 8y)340, dan 7x + 4y) 280 adalah .... (SPMB,2002)a.52b.51c.50d.49e.48O633IIIIIIIVV{{II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1.Gambarlah daerah yang menunjukkanhimpunan penyelesaian sistem pertidak-samaan berikut. 7x + 5y* 35 2x + 9y* 18 x) 9, y) 52.Tentukan nilai maksimum fungsi sasaranz = 40x + 10y yang memenuhi sistempertidaksamaan linear berikut. 2x + y* 12 x + y* 10 x* 0, y* 0{{
62Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Perhatikan gambar berikut.Tentukan sistem pertidaksamaan linearyang himpunan penyelesaiannya ditun-jukkan oleh daerah yang tidak diarsir(bersih).4.Untuk membuat satu paket roti A,diperlukan 50 gram mentega dan 60gram tepung, sedangkan satu paket rotiB memerlukan 100 gram mentega dan20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kilo-gram mentega dan 2,2 kilogram tepung,tentukana.model matematikanya;b.banyaknya masing-masing rotimaksimum yang dapat dibuat.5.Berdasarkan soal nomor 4, jika hargasatu paket roti A dan B masing-masingRp20.000,00 dan Rp25.000,00, tentukanjumlah uang maksimum yang diperolehdari penjualan roti tersebut.O62–24YX